Memahami FPB dan KPK Melalui Faktorisasi Prima
Untuk menguasai materi FPB (Faktor Persekutuan Terbesar) dan KPK (Kelipatan Persekutuan Terkecil) di tingkat olimpiade, senjata utama yang harus dikuasai dengan lancar adalah Faktorisasi Prima.
1. Konsep Dasar Faktorisasi Prima
Faktorisasi prima adalah proses memecah suatu bilangan komposit menjadi perkalian dari bilangan-bilangan prima.
Bilangan Prima: Bilangan yang hanya memiliki dua faktor, yaitu 1 dan bilangan itu sendiri (2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, ...).
Metode: Siswa dapat menggunakan pohon faktor atau metode pembagian bersusun (sengkedan) untuk menemukan faktor prima.
Dalam matematika tingkat lanjut, penulisan faktorisasi prima wajib menggunakan bentuk pangkat eksponen untuk mempermudah perhitungan.
Contoh: Faktorisasi dari 72 adalah $2 \times 2 \times 2 \times 3 \times 3$, yang harus ditulis sebagai $2^3 \times 3^2$.
2. Aturan Emas Mencari FPB dan KPK
Setelah bilangan-bilangan diubah ke bentuk faktorisasi prima, gunakan dua aturan dasar berikut:
A. Mencari FPB (Faktor Persekutuan Terbesar)
FPB mencari faktor pembagi terbesar yang sama dari dua bilangan atau lebih.
Syarat 1: Ambil bilangan pokok (basis) prima yang SAMA dan ada di semua bilangan yang dihitung.
Syarat 2: Pilih pangkat yang PALING KECIL.
B. Mencari KPK (Kelipatan Persekutuan Terkecil)
KPK mencari kelipatan terkecil yang bisa dibagi habis oleh bilangan-bilangan tersebut.
Syarat 1: Ambil SEMUA bilangan pokok (basis) prima yang ada.
Syarat 2: Jika ada basis yang sama, pilih pangkat yang PALING BESAR.
3. Contoh Penerapan
Contoh 1: Analisis 2 Bilangan
Carilah FPB dan KPK dari 84 dan 120!
Langkah 1: Faktorisasi Prima
84 = $2^2 \times 3 \times 7$
120 = $2^3 \times 3 \times 5$
Langkah 2: Terapkan Aturan FPB dan KPK
FPB: Cari faktor pokok yang sama di kedua bilangan, yaitu 2 dan 3. Pilih pangkat terkecil.
FPB = $2^2 \times 3 = 12$
KPK: Masukkan semua faktor pokok (2, 3, 5, 7). Untuk faktor yang sama, pilih pangkat terbesar.
KPK = $2^3 \times 3 \times 5 \times 7 = 840$
Contoh 2: Analisis 3 Bilangan (Standar Soal Kompetisi)
Carilah FPB dan KPK dari 90, 168, dan 252!
Langkah 1: Faktorisasi Prima
90 = $2 \times 3^2 \times 5$
168 = $2^3 \times 3 \times 7$
252 = $2^2 \times 3^2 \times 7$
Langkah 2: Terapkan Aturan FPB dan KPK
FPB: Faktor pokok yang ada di ketiga bilangan hanya 2 dan 3. Pilih pangkat terkecil.
FPB = $2 \times 3 = 6$
KPK: Masukkan semua faktor (2, 3, 5, 7) dengan pangkat terbesar.
KPK = $2^3 \times 3^2 \times 5 \times 7 = 8 \times 9 \times 5 \times 7 = 2520$
4. Tips Cepat Menjawab Soal OSN
Pengecekan Silang (Cross-Check): Ingatkan siswa pada sifat fundamental dari dua bilangan (misal bilangan $A$ dan $B$):
$$A \times B = \text{FPB}(A, B) \times \text{KPK}(A, B)$$
Rumus ini sangat sering diujikan di soal OSN dalam bentuk variabel atau soal cerita reverse-engineering (di mana FPB dan KPK diketahui, lalu siswa diminta mencari bilangannya).
Pengelompokan (Grouping): Jika siswa menemukan bilangan yang sangat besar (ratusan atau ribuan), melatih mereka melihat pola pembagian dengan bilangan prima (divisibility rules) seperti ciri bilangan habis dibagi 3, habis dibagi 4, atau habis dibagi 9 akan sangat mempercepat proses pembuatan pohon faktor.
5. LATIHAN SOAL
- Jika KPK dari $120, 144,$ dan $d$ adalah $3600$, dan FPB ketiganya adalah $12$, berapakah nilai positif minimum dari $d$?
- Berapa banyak angka nol berurutan di akhir dari nilai $100!$ (100 faktorial)?
- Tentukan nilai FPB dari $(2^{100} - 1)$ dan $(2^{120} - 1)$.
- Diketahui $x = 2^3 \times 3^2 \times 5$ dan $y = 2^a \times 3^b \times 5^c$. Jika $\text{KPK}(x, y) = 2^4 \times 3^4 \times 5^2$ dan $\text{FPB}(x, y) = 2^2 \times 3 \times 5$, berapakah nilai $a+b+c$?
- Tentukan bilangan asli terkecil yang jika dibagi 3 bersisa 2, dibagi 5 bersisa 4, dan dibagi 7 bersisa 6.
- Diketahui FPB dari $n$ dan $36$ adalah $12$, serta KPK-nya adalah $252$. Tentukan nilai $n$.
- Tentukan jumlah dari semua pembagi bulat positif dari bilangan $1080$.
- Bilangan $A$ memiliki 15 faktor positif, sedangkan bilangan $B$ memiliki 21 faktor positif. Jika $\text{FPB}(A, B) = 6$, tentukan nilai bilangan $A$.
- KPK dari $18$ dan sebuah bilangan genap $x$ adalah $90$. Ada berapa banyak kemungkinan nilai $x$ yang memenuhi?
- Faktorisasi prima dari suatu bilangan adalah $p^2 \times q^3$. Jika bilangan tersebut dikalikan dengan $p$, berapakah persentase pertambahan banyak faktor positifnya?