MATERI OLIMPIADE MATEMATIKA SMP HUBUNGAN FPB DAN KPK

Materi tentang Hubungan FPB dan KPK adalah salah satu konsep yang paling sering dieksplorasi dalam soal-soal teori bilangan pada berbagai kompetisi Matematika. Banyak siswa terjebak melakukan perhitungan panjang karena tidak menyadari hubungan elegan antara kedua nilai ini.

Berikut adalah uraian materi yang menyoroti sifat fundamental serta trik aljabar yang sering menjadi kunci jawaban soal problem solving.

Hubungan Fundamental FPB dan KPK

Pemahaman tentang hubungan FPB dan KPK bermula dari satu identitas kunci yang menghubungkan dua bilangan bulat positif.

1. Teorema Dasar (Hanya untuk 2 Bilangan)

Untuk dua bilangan bulat positif $a$ dan $b$, hasil kali kedua bilangan tersebut selalu sama dengan hasil kali FPB dan KPK-nya:

$$a \times b = \text{FPB}(a, b) \times \text{KPK}(a, b)$$

Peringatan Penting untuk Siswa:

Rumus ini HANYA berlaku mutlak untuk 2 bilangan. Ini adalah jebakan klasik di soal olimpiade. Jika ada tiga bilangan ($a, b, c$), maka:

$$a \times b \times c \neq \text{FPB}(a, b, c) \times \text{KPK}(a, b, c)$$

2. Mengapa Rumus Ini Berlaku? (Pembuktian via Eksponen)

Siswa kompetisi harus tahu "mengapa", bukan sekadar menghafal "apa". Hubungan ini bisa dibuktikan lewat aturan faktorisasi prima yang sudah dipelajari sebelumnya.

Misalkan $p$ adalah salah satu faktor prima dari $a$ dan $b$.

Di bilangan $a$, faktor $p$ memiliki pangkat $m$.

Di bilangan $b$, faktor $p$ memiliki pangkat $n$.

Saat mencari FPB, kita mengambil pangkat terkecil $\min(m, n)$.

Saat mencari KPK, kita mengambil pangkat terbesar $\max(m, n)$.

Karena penjumlahan pangkat terkecil dan terbesar dari dua bilangan pasti sama dengan total penjumlahan kedua pangkat tersebut:

$$\min(m, n) + \max(m, n) = m + n$$

Maka secara logis, perkalian $\text{FPB} \times \text{KPK}$ akan mengembalikan total pangkat dari perkalian $a \times b$.

3. Trik Aljabar: Pemisalan Koprima (Sangat Penting untuk OSN)

Ini adalah teknik substitusi yang wajib dikuasai siswa saat menghadapi soal di mana $a$ dan $b$ tidak diketahui, tetapi nilai FPB atau KPK-nya diberikan.

Jika diketahui $\text{FPB}(a, b) = d$, maka kita selalu bisa memisalkan:

$a = d \times x$

$b = d \times y$

Syarat Mutlak: $x$ dan $y$ harus saling prima atau koprima ($\text{FPB}(x, y) = 1$).

Dari pemisalan di atas, kita bisa menurunkan rumus KPK yang jauh lebih sederhana:

$$\text{KPK}(a, b) = d \times x \times y$$

4. Contoh Soal Tingkat Kompetisi & Pembahasannya

Soal 1: Mencari Banyaknya Pasangan Bilangan

Diketahui dua bilangan bulat positif $a$ dan $b$ memiliki $\text{FPB}(a, b) = 12$ dan $\text{KPK}(a, b) = 216$. Jika $a < b$, tentukan semua pasangan $(a, b)$ yang memenuhi!

Penyelesaian:

Langkah 1: Gunakan Trik Pemisalan

Karena $\text{FPB}(a, b) = 12$, misalkan:

$a = 12x$

$b = 12y$

(dengan syarat $\text{FPB}(x, y) = 1$ dan $x < y$).

Langkah 2: Hubungkan dengan KPK

Gunakan rumus turunan KPK: $\text{KPK} = d \times x \times y$

$216 = 12 \times x \times y$

$x \times y = \frac{216}{12}$

$x \times y = 18$

Langkah 3: Cari Pasangan $(x, y)$ yang Koprima

Faktor dari 18 adalah pasangan: $(1, 18)$, $(2, 9)$, dan $(3, 6)$.

Cek syarat $\text{FPB}(x, y) = 1$:

$(1, 18) \rightarrow \text{FPB}(1, 18) = 1$ (Memenuhi)

$(2, 9) \rightarrow \text{FPB}(2, 9) = 1$ (Memenuhi)

$(3, 6) \rightarrow \text{FPB}(3, 6) = 3$ (TIDAK memenuhi, coret!)

Langkah 4: Kembalikan ke Nilai $a$ dan $b$

Untuk $(x, y) = (1, 18) \implies a = 12(1) = 12, \quad b = 12(18) = 216$.

Untuk $(x, y) = (2, 9) \implies a = 12(2) = 24, \quad b = 12(9) = 108$.

Jadi, pasangan $(a, b)$ yang memenuhi adalah (12, 216) dan (24, 108).

5. LATIHAN SOAL

1. Dua bilangan asli $a$ dan $b$ memenuhi $a \times b = 1500$ dan $\text{FPB}(a, b) = 10$. Jika $a \neq b$, tentukan selisih minimum dari $|a - b|$.
2. Diketahui $\text{KPK}(x, y) = 144$ dan $\text{FPB}(x, y) = 12$. Tentukan banyaknya pasangan berurutan $(x, y)$ yang mungkin!
3. Tentukan dua bilangan bulat positif yang jumlahnya 288 dan memiliki FPB bernilai 36.
4. FPB dari dua bilangan adalah 15 dan hasil kalinya adalah 6750. Tentukan selisih terbesar yang mungkin antara kedua bilangan tersebut.
5. Jika diketahui $\text{KPK}(a, b) = 720$ dan hasil kali $a \times b = 8640$, berapakah nilai $\text{FPB}(a, b)$?
6. Diberikan $\text{FPB}(a, b) = 5$ dan $\text{KPK}(a, b) = 105$. Berapakah nilai $a + b$ yang mungkin terjadi?
7. Tiga bilangan $a, b,$ dan $c$ memiliki KPK bernilai 420. Jika $\text{FPB}(a, b) = 3$, jelaskan secara matematis mengapa tidak mungkin ada bilangan 11 di antara ketiganya.
8. Jika $\text{KPK}(x, 15) = 60$ dan $\text{FPB}(x, 15) = 5$, berapakah nilai pasti dari $x$?
9. Jumlah dua bilangan bulat positif adalah 60 dan KPK-nya adalah 84. Tentukan nilai kedua bilangan tersebut.
10. Misalkan $a$ dan $b$ adalah akar-akar dari persamaan kuadrat $x^2 - px + q = 0$. Jika $\text{FPB}(a, b) = 3$ dan $\text{KPK}(a, b) = 30$, berapakah nilai koefisien $p$ minimum?